一种使用图神经网络常见的偏微分方程定义为哪般？

这是2020年发表在ICLR上的一篇论文，论文使用图神经网络从稀疏数据中学习连续时间偏微分方程。论文提出的模型的主要创新是允许任意空间和时间离散化，即在求解偏微分网格时，网格可以是非均匀的。由于要求解的控制方程是未知的，因此作者在表示控制方程时使用了消息传递图神经网络进行参数化。

偏微分方程在许多系统中都至关重要。但求解大多数偏微分方程长期以来一直是一项艰巨的任务，通常需要复杂的数值求解技巧，尤其是当方程的参数或边界条件部分未知时。

图神经网络 (GNN) 为求解偏微分方程提供了新颖而令人兴奋的概念，因为它们在建模非欧几里得系统中具有广泛的适用性。

在本文中，我们将回顾一种使用图神经网络来表示偏微分方程的重要时间导数分量的方法。

一个常见的偏微分方程定义为，

其中系统相对于空间坐标 x 和时间 t 的时间演化取决于其自身及其相对于空间坐标 x 的一阶或更高阶导数。

这种形式的偏微分方程是一大类科学问题的基础，在声波、流体和热扩散等具有传播特性的系统中有着广泛的应用。

[1]提出使用GNN来逼近离散点网格的函数F，用直线法（MOL）对原方程进行离散化，在系统域Ω中选取N个节点，因此函数F在这些上离散化空间节点，可以表示为

其中 N(i) 是 xi 处相邻节点的一组索引，x{N(i)} 和 u{N(i)} 是 N(i) 中节点的位置和状态。

我们将用 G=(V, E) 表示一个无向图，其中 V 是顶点集，E 是边集。为了构建这个图，首先对离散点使用Delaunay三角剖分，如果两个节点在至少一个三角形的同一侧，则认为它们是相邻的，如下图所示

一组点的 Delaunay 三角剖分。绿色和橙色点被认为是邻居，因为它们共享相同的边缘。来源[1]

然后使用消息传递神经网络（MPNN）对函数 F 建模神经网络预测r程序，通过 K 个图传播隐藏状态，每层 k 首先收集每个节点 i 的消息，然后更新相应的节点状态，

其中 φ 和 γ 是由 DNN 参数化的可微函数，

然后使用最后一层图计算 PDE，

为了监督模型的学习，使用均方误差来观察状态和估计状态之间的差异。

与具有宽间隔数据的纯离散时间模型相比，这种方法的优点是可以预测系统在连续时间的状态神经网络预测r程序，同时学习系统在离散时间的状态。

a) 热传导方程的相对测试误差。b) 真实和学习的系统动力学。来源[1]

这种进化机制在数学上由偏微分方程描述，图神经网络将这些机制抽象为节点（或边）之间的信息流。该论文提到，图神经网络将进一步推动科学研究和社会经济学，因为它们与描述自然界和人类社会中广泛存在的非欧几里得数据或系统的自然结构有关。

论文信息：

1.瓦莱里·雅科夫列夫等。al.，“使用图神经网络从稀疏数据中学习连续时间偏微分方程”，arXiv:2006.08956.