傅里叶变换本质及其公式解析变换的本质(组图)

傅里叶变换的本质及其公式解析

傅里叶变换的本质傅里叶变换的公式是

傅里叶变换公式

傅里叶变换也可以变换成另一种形式：

内积表达式

可见傅里叶变换的本质是内积，三角函数是一组完整的正交函数，不同频率的三角函数之间的内积为0，而且只有当频率相同的三角函数做内积，不是0。

傅里叶变换的意义由下式解释。因为傅里叶变换的本质是内积傅里叶变换代码实现，f(t) 和

计算内积时，只有频率在f(t)中的分量W会有内积的结果，其余分量的内积为0。可以理解为f(t)在

上的投影，积分值是时间从负无穷到正无穷的积分，就是将信号在w中的分量在每一时刻叠加起来，可以理解为f(t)在

投影在 上的叠加，叠加的结果就是频率的分量，也形成了频谱。傅里叶逆变换的公式是

从下面的公式分析傅里叶逆变换的含义。傅里叶逆变换是傅里叶变换的逆过程。求和的内积时，只有t时刻分量的内积有结果，其他时刻分量有结果。乘积的结果为0。同理，积分值是频率从负无穷到正无穷的积分，即信号在t时刻各频率的分量叠加，叠加的结果为f(t) 在时间 t 的值。它回到了我们最初观察信号的时域。对一个信号做傅里叶变换，然后直接做逆变换是没有意义的。傅里叶变换和傅里叶逆变换之间有一个滤波过程。滤除不需要的频率成分，然后进行逆变换得到想要的信号。例如，将信号与噪声信号混合，可以通过滤波器去除噪声信号的频率傅里叶变换代码实现，然后进行傅里叶逆变换，得到没有噪声的信号。

优点：频率的定位非常好。通过信号良好的频率分辨率，可以清晰地得到信号所包含的频率分量，即频谱。

缺点：由于频谱是时间从负无穷到正无穷的叠加，所以，知道某个频率，就无法判断该频率的时间定位。无法判断某个时间段的频率分量。