【期中复习】一元二次方程就是关于平方的方程解一元二次方程的基本思想方法

一个变量的二次方程

这是关于正方形的方程

求解一个变量中的二次方程的基本思想是通过“减度”将其转化为一个变量中的两个线性方程组。一元二次方程的解法有四种：1、直接开法；2、匹配法；3、公式法；4、因式分解法。

⒈直接提取法：直接提取法是通过直接平方提取求解一个变量的二次方程的方法。

用直接法求解形式为(x-m)^2=n(n≥0)的方程，解为x=±√n+m。

示例1.求解方程⑴(x-2)^2 =929x^2-24x+16=11

分析： (1) 这个方程显然很容易用直接找平法做。 (2)方程左边是完美水准法(3x-4)^2,右边=11>0，所以这个方程也可以用直接水准法求解。

⑴解：(x-2)^2=9 ∴x-2=±√9 ∴x-2=±3 ∴x1=3+2 x2=-3+2 ∴x1=5 x2 = -1

2 解：9x^2;-24x+16=11 ∴(3x-4)^2=11 ∴3x-4=±√11 ∴x=﹙4±√11﹚/3 ∴原方程的解为x1=﹙4﹢√11﹚/3,x2=﹙4﹣√11﹚/3

2.赋值方法：解方程ax^2+bx+c=0(a≠0)

先把常数c移到等式右边：ax^2+bx=-c

二次项到1的系数：x^2+(b/a)x = – c/a

等式两边加上一阶系数一半的平方：x^2+b/ax+(b/2a)^2= – c/a+(b/2a)^2

等式的左边变成一个完美的正方形：(x+b/2a)^2 = -c/a﹢﹙b/2a)^2;

当b^2-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚^2；

∴x=﹛﹣b±[√﹙b^2;﹣4ac﹚]﹜/2a（这是根公式）

示例2.用匹配法求解方程3x^2-4x-2=0

解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2

二次项到1的系数：x^2-﹙4/3﹚x=2/3

等式两边加上一阶系数一半的平方：x^2-﹙4/3﹚x+(4/6)^2=(2/3) +(4/6)^2

配方：(x-4/6)^2= (2/3)+(4/6)^2

直接平方根：x-4/6=± √[(2/3)+(4/6)^2 ]

∴x= 4/6± √[(2/3)+(4/6)^2 ]

∴原方程的解为x?=4/6﹢√﹙10/9﹚，x?=4/6﹣√﹙10/9﹚。

3.公式法：将一个变量的二次方程转化为一般形式，然后计算判别式△=b^2-4ac的值，当b^2-4ac≥0时，把系数a，将b和c的值代入根公式x=[-b±√(b^2-4ac)]/(2a)，(b^2-4ac≥0)得到等式的根。

例子3.用公式法求解方程2x^2-8x=-5

解：将方程转换为一般形式：2x^2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)^2 – 4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±√(b^2-4ac)]/(2a) ∴原方程的解是x?=,x?= .

4.因式分解法：对方程进行变换，使一侧为零，将另一侧的二次三项式分解为两个一阶因子的乘积，使两个一阶因子相等分别为零，得到一个变量的两个线性方程，求解一个变量的两个线性方程得到的根就是原方程的两个根。这种求解一个变量的二次方程的方法称为分解。

示例4.使用分解求解以下方程：

⑴(x+3)(x-6)=-8 ⑵ 2x^2+3x=0 ⑶ 6x^2+5x-50=0 (可选) ⑷x2-2(+) x +4=0（可选）

⑴解：(x+3)(x-6)=-8 化简得到x^2-3x-10=0（方程左边是二次三项式，右边边为零) (x-5)(x+2)=0 (在等式左边分解) ∴x-5=0 或 x+2=0 (转换成两个线性方程) ∴x^1 =5,x^2=-2是原方程的解。

2 解：2x^2+3x=0 x(2x+3)=0（用常用的因式分解方法对等式左边进行因式分解）∴x=0或2x+3=0（换算成到一个变量中的两个线性方程组）∴x1=0，x2=-是原方程的解。注意：有些学生在做这类问题时往往会失去x=0的解。记住有两个一元二次方程的解。

⑶解：6x^2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0（因式分解时要特别注意符号）∴2x-5= 0 或 3x+10=0 ∴x1=,x2=- 是原方程的解。

⑷解：x2-2(+)x+4 =0（∵4可以分解成2·2，∴这个问题可以因式分解）(x-2)(x-2) =0 ∴x1=2,x2=2是原方程的解。

总结：一般来说，求解一个变量的二次方程最常用的方法是分解法。应用因式分解法时，应先将方程写成一般形式，将二次项的系数转化为正数。 .

直接开法是最基本的方法。

公式法和匹配法是最重要的方法。公式法适用于任何一个变量的二次方程（有人称其为万能法）。使用公式法时，必须将原方程转换为一般形式才能确定系数能解方程的计算器软件，并在使用公式前计算判别式的值。来判断方程是否有解。

匹配法是推导公式的工具。掌握公式法后，可以直接用公式法求解一个变量的二次方程。因此，求解一个变量的二次方程一般不需要匹配方法。

但是，匹配方法在学习其他数学知识方面有着广泛的应用。是初中需要掌握的三大数学方法之一。一定要好好掌握。 （三种重要的数学方法：元法、匹配法、待定系数法）。

单变量三次方程

这是关于立方体的方程式

在一个变量中求三次方程的根的公式不能用普通的演绎思维来制作。在一个变量中求二次方程的根的公式只能表示为 ax^3+bx^2+cx+ d=0 的标准形式一元三次方程形式化为 x^3+ 的特殊形式px+q=0。

一维三次方程的解公式的解只能通过归纳思维得到，即一维三次方程的求根公式可以按照一维的形式总结出来维线性方程、一维二次方程和特殊高阶方程。形式。 x^3+px+q=0形式的一维三次方程求根的公式应该是x=A^(1/3)+B^(1/ 3) , 即两个开立方的和。总结了在一个变量中求三次方程的根的公式的形式。下一步就是求开立方中的内容，即，用p和q分别表示A和B，方法如下：

⑴结合x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时得到

⑵x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))

3 由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以2可以转化为

x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x, 可以通过移位获得

⑷x^3-3(AB)^(1/3)x-(A+B)=0，对比一维三次方程和​​特殊类型x^3+px+q= 0，我们可以看到

⑸-3(AB)^(1/3)=p, -(A+B)=q, 简化为

⑹A+B=-q，AB=-(p/3)^3

⑺ 这样一元三次方程的求根公式实际上就被公式化为一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看成一元二次方程的两个根，而⑹是关于y^2+by+c=0的二次方程的两个根的吠陀定理的形式，即

⑻y1+y2=-(b/a), y1*y2=c/a

⑼ 比较⑹和⑻，我们可以使A=y1，B=y2，q=b/a，-(p/3)^3=c/a

⑽因为在y^2+by+c=0类型的一个变量中求二次方程的根的公式是

y1=-(b+(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)

y2=-(b-(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)

可以转化为

⑾y1=-(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

y2=-(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

将A=y1, B=y2, q=b/a, -(p/3)^3=c/a 代入⑾得到

⑿A=-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)

B=-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)

⒀ 将 A 和 B 代入 x=A^(1/3)+B^(1/3)get

⒁x=(-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)@ >)^(1/3)+(-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^ (1/2))^(1/3)

公式⒁只是一个三维方程在一个变量中的实根解。根据吠陀定理，一个变量的三维方程应该有三个根。但是，根据 Weird 定理，一个变量的三维方程只需要一个根，其他两个根很容易找到。出去。

x^y 是 x 的 y 次方。说起来很复杂，塔塔利亚发现的一维三次方程的解一维三次方程的一般形式是

x3+sx2+tx+u=0

如果我们做一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们可以消除方程的二次项。所以我们只考虑 x3=px+q 形式的三次方程。

假设方程的解 x 可以写成 x=a-b 的形式，其中 a 和 b 是未定参数。

代入方程，我们有

a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q

有组织的

a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q

According to the theory of quadratic equation, a and b must be appropriately selected so that when x=a-b,

3ab+p=0。这样，上面的公式就变成了

a3-b3=q

两边都乘以27a3得到

27a6-27a3b3=27qa3

从p=-3ab可以看出

27a6 + p3 = 27qa3

这是一个关于a3的二次方程，所以可以求解a。然后我们可以求解b和根x。

一元二次方程

一元二次方程的法拉利解法与三次方程相同，可以通过坐标平移来消去二次方程

正规形式的三次项。因此，只需考虑以下形式的四次方程：

x4=px2+qx+r

关键是使用参数将等式两边匹配成完美的正方形。考虑一个参数

a，我们有

(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2

等式的右边是一个完全平方当且仅当它的判别式为0，即，

q2 = 4(p+2a)(r+a2)

这是一个关于 a 的三次方程。利用上面一维三次方程的解，我们可以

求解参数a。这样，原方程两边完全平方，平方根后，有一个关于x的方程

一元二次方程，故原方程的根x可解。

最后能解方程的计算器软件，5次及以上的高阶方程在一个变量（即通过有限个四次算术运算和通过各种系数的幂和平方根运算）没有一般代数解，称为阿贝尔定理。